2017年大学入試センター試験数学2B第4問 ④[ツ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学2B第4問の[ツ]までを解説します。

2017年2B第4問ここまでの記事→①ベクトルの基本②[ウ]まで③[ケ]まで


■ 問題

2017年センター試験数2Bより

第4問

 座標平面上に点A(2,0)をとり、原点Oを中心とする半径が2の円周上に点B,C,D,E,Fを、点A,B,C,D,E,Fが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、Bは第1象限にあるとする。

(1) 点Bの座標は([ア],√[イ]),点Dの座標は(-[ウ],0)である。
                                 →
(2) 線分BDの中点をMとし、直線AMと直線CDの交点をNとする。ONを求めよう。
  →            →  →   →  →  →   →
 ONは実数r,sを用いて、ON=OA+rAM,ON=OD+sDCと2通りに表すことができる。ここで
   →
  AM=(-[エ]/[オ],√[カ]/[キ])
   →
  DC=([ク],√[ケ])

であるから

  r=[コ]/[サ],s=[シ]/[ス]

である。よって
   →
  ON=(-[セ]/[ソ],[タ]√[チ]/[ツ])

である。

(3) 線分BF上に点Pをとり、そのy座標をaとする。点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線との交点をHとする。
  →
 EPが
   →
  EP=([テ],[ト]+√[ナ])

と表せることにより、Hの座標をaを用いて表すと

  (([ニ]a^[ヌ]+[ネ])/[ノ],[ハ])

である。  →  →
 さらに、OPとOHのなす角をθとする。cosθ=12/13のとき、aの値は

  a=±[ヒ]/[フヘ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

       →  →         →
③[ケ]までで、AMとDCがわかったので、ONの式に代入できますね!
→  →   →
ON=OA+rAM
  =(2,0)+r(-5/2,√3/2)
  =(-5r/2+2,√3r/2)
→  →   →
ON=OD+sDC
  =(-2,0)+s(1,√3)
  =(-2+s,√3s)
    →
これでONを2通りの方法で表すことができました。

これらは等しいので、x成分同士、y成分同士イコールで結びます。

x成分:-5r/2+2=-2+s
y成分:√3r/2=√3s

これらを連立して解いてみましょう!

√3r/2=√3s
  r/2=s      ←両辺を√3で割った
    r=2s     ←両辺を2倍した

-5r/2+2=-2+sにr=2sを代入して、
-5×2s/2+2=-2+s
    -5s+2=-2+s
      -6s=-4    ←移項した
        s=2/3
r=2sなので、r=4/3

よって、[コ]=4,[サ]=3,[シ]=2,[ス]=3
     →
さらに、ON=(-2+s,√3s)にs=2/3を代入すれば、

ON=(-2+2/3,√3・2/3)=(-4/3,2√3/3)

よって、[セ]=4,[ソ]=3,[タ]=2,[チ]=3,[ツ]=3


次の記事→⑤[ナ]まで


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