2017年大学入試センター試験数学2B第4問 ⑤[ナ]まで

この記事では、2017年大学入試センター試験数学2B第4問の[ナ]までを解説します。

2017年2B第4問ここまでの記事→①ベクトルの基本②[ウ]まで③[ケ]まで④[ツ]まで


■ 問題

2017年センター試験数2Bより

第4問

 座標平面上に点A(2,0)をとり、原点Oを中心とする半径が2の円周上に点B,C,D,E,Fを、点A,B,C,D,E,Fが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、Bは第1象限にあるとする。

(1) 点Bの座標は([ア],√[イ]),点Dの座標は(-[ウ],0)である。
                                 →
(2) 線分BDの中点をMとし、直線AMと直線CDの交点をNとする。ONを求めよう。
  →            →  →   →  →  →   →
 ONは実数r,sを用いて、ON=OA+rAM,ON=OD+sDCと2通りに表すことができる。ここで
   →
  AM=(-[エ]/[オ],√[カ]/[キ])
   →
  DC=([ク],√[ケ])

であるから

  r=[コ]/[サ],s=[シ]/[ス]

である。よって
   →
  ON=(-[セ]/[ソ],[タ]√[チ]/[ツ])

である。

(3) 線分BF上に点Pをとり、そのy座標をaとする。点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線との交点をHとする。
  →
 EPが
   →
  EP=([テ],[ト]+√[ナ])

と表せることにより、Hの座標をaを用いて表すと

  (([ニ]a^[ヌ]+[ネ])/[ノ],[ハ])

である。  →  →
 さらに、OPとOHのなす角をθとする。cosθ=12/13のとき、aの値は

  a=±[ヒ]/[フヘ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

今回の問題を含めて、2017年のセンター数学本試験全問題を解説しています。このブログとあわせてご利用ください。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

次は(3)です。

「線分BF上に点Pをとり、そのy座標をaとする」
「点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線との交点をHとする」

とあります。

FはBの真下の点になので、線分BFはy軸に並行ですね。そのBF上にy座標がaの点Pをとります。

そして、点Pから直線CEに、点Cから直線EPに垂線を引いて、これら2本の垂線の交点をHとしています。

図を描いてしっかり確認しながら進みましょう!


では、EPを求めましょう!

EはCの真下なので、(-1,-√3)です。

PはBF上の点でy座標がaなので、(1,a)です。

EP=(1+1,a+√3)=(2,a+√3)

よって、[テ]=2,[ト]=a,[ナ]=3


次の記事→⑥[ハ]まで


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