2016年大学入試センター試験数学1A第1問[3] ①2次不等式の解き方の前半

この記事では、2016年大学入試センター試験数学1A第1問[3]に関して、2次不等式を解くためにまず最初に求めることを解説します。


■ 問題

2016年センター試験数1Aより

第1問

[3] aを1以上の定数とし、xについての連立不等式

{x^2+(20-a^2)x-20a^2≦0 ・・・{1}
{x^2+4ax≧0 ・・・{2}

を考える。このとき、不等式{1}の解は[チツテ]≦x≦a^2である。
また、不等式{2}の解はx≦[トナ]a,[ニ]≦xである。

 この連立不等式を満たす負の実数が存在するようなaの値の範囲は

 1≦a≦[ヌ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

2016年第1問[3]では、不等式に関する問題が配置されました。
正面から2次不等式を解く問題です。

早速やってみましょう!

まずは{1}から。

x^2+(20-a^2)x-20a^2≦0

2次不等式を解くときには、まずは不等号をイコールに書き換えて解くことが多いです。
2次方程式に書き換えて求められた解は、不等式の解の範囲の境目を表すからです。

x2乗の係数がないので、中学レベルの「掛けて~、足して~」方式を試してみましょう。

かけて-20a^2、足して20-a^2になるような2つの数(式)の組み合わせを考えます。少し考えれば・・・

20と-a^2ならばうまくいきそうですね!

x^2+(20-a^2)x-20a^2=0とすると、
(x+20)(x-a^2)=0
よって、x=-20,a^2

この不等式の解の境界線は、x=-20とa^2であることがわかりました。

次の記事では、この境界の値を利用して、不等式の解を求めます。


次の記事→②[チツテ]まで


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