2016年大学入試センター試験数学2B第3問 ①問題の確認

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第3問の問題の確認をします。


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第3問

 真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列

  1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,…

を{an}とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より小さい分数のことであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形解答する場合は、[解答上の注意]にあるように、それ以上約分できない形で答えよ。

(1) a15=[ア]/[イ]である。また、分母に初めて8が現れる項は、a[ウエ]である。

(2) kを2以上の自然数とする。数列{an}において、1/kが初めて現れる項を第Mk項とし、(k-1)/kが初めて現れる項を第Nk項とすると

  Mk=([オ]/[カ])k^2-([キ]/[ク])k+[ケ]
  Nk=([コ]/[サ])k^2-([シ]/[ス])k

である。よって、a104=[セソ]/[タチ]である。

(3) kを2以上の自然数とする。数列{an}の第Mk項から第Nk項までの和は、([ツ]/[テ])k-[ト]/[ナ]である。したがって、数列{an}の初項から第Nk項までの和は

  ([ニ]/[ヌ])k^2-([ネ]/[ノ])k

である。よって

  Σ[n=1~103]an=[ハヒフ]/[ヘホ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

2016年も、数学2Bの第3問は数列の問題でした。

教科書に載っている基本的な問題よりも相当難易度が高そうに見えますし、実際、総合的な難易度としては、難しめの場合が多いです。

しかし、一つ一つ分解して見ていくと、実は簡単な問題が集まっただけ。という場合がほとんどです。

センター試験は丁寧な誘導があるし、問題の設定は一見して複雑でも、良く読んでみると、なんとかなることもあるはずです。

長めの問題設定や複雑そうに見える式に惑わされずに、どんな設定の問題で、何を問われているのかを、まずはしっかり把握してくださいね。
そうすれば、きっと解決の糸口が見えてくるはずですよ!


まずは条件をしっかり確認しましょう!

今回は、分数を以下のように並べた数列{an}について考えます。

  1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,…

とりあえずは、法則性を理解するようにしてください。

例えば、分母だけに注目すると、

2,3,3,4,4,4,5,・・・

となっています。
これの分子は1から順に真分数になるように並べられています。

だから、この後は、2/5,3/5,4/5,1/6,・・・となりますね!


①次の記事では実際に、最初の設問の解答を求めます。

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