2016年大学入試センター試験数学2B第3問 ②[イ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第3問の[イ]までを解説します。

2016年2B第3問ここまでの記事→①問題の確認


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第3問

 真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列

  1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,…

を{an}とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より小さい分数のことであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形解答する場合は、[解答上の注意]にあるように、それ以上約分できない形で答えよ。

(1) a15=[ア]/[イ]である。また、分母に初めて8が現れる項は、a[ウエ]である。

(2) kを2以上の自然数とする。数列{an}において、1/kが初めて現れる項を第Mk項とし、(k-1)/kが初めて現れる項を第Nk項とすると

  Mk=([オ]/[カ])k^2-([キ]/[ク])k+[ケ]
  Nk=([コ]/[サ])k^2-([シ]/[ス])k

である。よって、a104=[セソ]/[タチ]である。

(3) kを2以上の自然数とする。数列{an}の第Mk項から第Nk項までの和は、([ツ]/[テ])k-[ト]/[ナ]である。したがって、数列{an}の初項から第Nk項までの和は

  ([ニ]/[ヌ])k^2-([ネ]/[ノ])k

である。よって

  Σ[n=1~103]an=[ハヒフ]/[ヘホ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

では最初の設問です。

(1) a15=[ア]/[イ]である。

第15項目まで書いていけば特に問題ありません。
・・・が、一応ここでは計算して求めてみましょう!

分母は2,3,3,4,4,4,5,・・・なので、分母の数字が1増える度に数字の個数が1ずつ増えています。

このまま増え続けて、分母がsの項があるとします。
最初が2が1個だったので、分母がsの項はs-1個あることがわかります。
そこまでの項数は、1からs-1までの自然数の和になるので、

n=s(s-1)/2と表すことができます。

a15について考えるので、n=15を代入して、

 s(s-1)/2=15
    s^2-s=30
 s^2-s-30=0
(s-6)(s+5)=0
∴s=6,-5
ここで、s>0なので、s=6

この場合は、たまたまぴったりs=6という整数値が出ました。ということは、分母が6の数の一番最後の項がa15のはずなので、
a15=5/6

よって、[ア]=5,[イ]=6


次の記事→③[ウエ]まで

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