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この記事では、2015年大学入試センター試験数学１Ａ第1問に関して、平方完成のやり方を解説します。


2015年大学入試センター試験数学１Ａ第１問ここまでの記事→①一般形と標準形

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■　問題

2015年センター試験数１Ａより

第１問

　２次関数

　　　ｙ＝－ｘ^2＋２ｘ＋２・・・①

のグラフの頂点の座標は([ ア ]，[ イ ])である。また

　　　ｙ＝ｆ(ｘ)

はｘの２次関数で、そのグラフは①のグラフをｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑだけ
平行移動したものであるとする。

(1) 下の[ ウ ]，[ オ ]には、次の{0}～{4}のうちから当てはまるものを一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

{0} ＞　　{1} ＜　　{2} ≧　　{3} ≦　　{4} ≠

　２≦ｘ≦４におけるｆ(ｘ)の最大値がｆ(２)になるようなｐの値の範囲は

　　　ｐ[ ウ ][ エ ]

であり、最小値がｆ(２)になるようなｐの値の範囲は

　　　ｐ[ オ ][ カ ]

である。

(2) ２次不等式ｆ(ｘ)＞０の解が－２＜ｘ＜３になるのは

　　　ｐ＝[キク]／[ケ]，ｑ＝[コサ]／[シ]

のときである。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■　おすすめ問題集

最大最小やｘ軸との位置関係など、２次関数の代表的な論点が、選択肢を選びながら読み進めるだけで習得できます！



2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■　解説

２次関数の問題では、必ずと言っていいほど頂点の座標を利用します。
頂点と平方完成は即座に結びつくよう練習しておかなければいけません。
ここではまず、平方完成の意味とイメージを解説しておきます。

「平方完成」は、２次関数の頂点の座標を求めるときなどに使います。
漢文の訓点をつけた雰囲気にすると「平方(２乗)ニ完成スル」と読めます。
つまり、与えられた式を変形し、カッコの２乗を作ることを言います。

ｘなどの変数は全てカッコの中に入れて、「(変数－定数)^2＋定数」の形にするのが目標です。カッコの外にｘが残らないことに注意してください。

そして、平方完成した式を展開したら、もとの式になる。と考えておきます。

(ｘ－ａ)^2＝ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2

なので、２乗の展開をすると、ｘが１次の項は、係数に２がつきます。
だから、逆にカッコの２乗を作ると、ｘが１次の項の半分が出てくる。
とイメージしておくと良いと思います。


平方完成の具体的な方法を、簡単な例を挙げて紹介します。
ｙ＝ｘ^2－４ｘ＋１という２次関数の平方完成を考えます。

ｙ＝ｘ^2－４ｘ＋１　　　　　　・・・ａ
　＝(ｘ^2－４ｘ＋４)－４＋１　・・・ｂ
　＝(ｘ－２)^2－３　　　　　　・・・ｃ

教科書などによくこんな式が書いてあると思います。
ｂの式のところでは、普通は単に「ココは半分にして２乗するんだよ。」
みたいに言われていると思います。
・・・が、どうしてそうするのか腑に落ちない人もたくさんいると思います。

そんな人はこんなふうにしてみると良いかも！？

ａを書いたら、ｂの式のスペースを空けて、まず３行目のｃの(ｘ－２)^2の部分を書いてみます。

ｙ＝ｘ^2－４ｘ＋１
　＝
　＝(ｘ－２)^2　　　　　　　　←「真ん中の項」の半分をカッコの中に

ここでｃの式を展開したものをｂの位置に書いてみます。

ｙ＝ｘ^2－４ｘ＋１
　＝ｘ^2－４ｘ＋４　　　　　　←　下の式を展開
　＝(ｘ－２)^2

ａの式には「４」という項は存在していなかったので、値を合わせるために同じく４を引きます。
また、「＋１」という項はａからｂへそのまま持ってきます。

ｙ＝ｘ^2－４ｘ＋１
　＝(ｘ^2－４ｘ＋４)－４＋１　←　ｂの式完成！
　＝(ｘ－２)^2

そして、ｂの式のカッコの外の部分を計算してみます。

ｙ＝ｘ^2－４ｘ＋１
　＝ｘ^2－４ｘ＋４－４＋１
　＝(ｘ－２)^2－３　　　　　　←　括弧の外を計算

ということで、平方完成が完成しました！
このようにするとわかりやすく、ミスも少なくなる気がしませんか？


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