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この記事では、2015年大学入試センター試験数学２Ｂ第１問[2]の[トナ]までを解説します。


2015年数学２Ｂ第１問[2]ここまでの記事→①指数・累乗根、②[セソ]まで、③[テ]まで

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■　問題

2015年センター試験数２Ｂより

第１問

[ 2 ] ａ，ｂを正の実数とする。連立方程式

(＊){ｘ・√(ｙ^3)＝ａ
　　{ｘ^(1/3)・ｙ＝ｂ

を満たす正の実数ｘ，ｙについて考えよう。

(1) 連立方程式(＊)を満たす正の実数ｘ，ｙは

　ｘ＝ａ^[ス]・ｂ^[セソ]，ｙ＝ａ^p・ｂ^[タ]

となる。ただし

　ｐ＝[チツ]／[テ]

である。

(2) ｂ＝２(ａ^4)^(1/3)とする。ａがａ＞０範囲を動くとき、連立方程式(＊)を満たす正の実数ｘ，ｙについて、ｘ＋ｙの最小値を求めよう。

　ｂ＝２(ａ^4)^(1/3)であるから、(＊)を満たす正の実数ｘ，ｙは、ａを用いて

ｘ＝２^[セソ]・ａ^[トナ]，ｙ＝２^[タ]・ａ^[ニ]

と表される。したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、ｘ＋ｙはａ＝２^qのとき最小値√[ヌ]をとることがわかる。ただし

　ｑ＝[ネノ]／[ハ]

である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、累乗根は分数の指数で、マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■　おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■　解説

(2)の最初には、ｂ＝２(ａ^4)^(1/3)という条件があります。

そのまま素直に代入してみましょう！

ｘ＝ａ^2・ｂ^(-3)
　＝ａ^2・{２(ａ^4)^(1/3)}^(-3)
　＝ａ^2・{２^3・(ａ^4)}^(-1)　　　←３乗根と３乗で相殺した
　＝２^(-3)・ａ^(-2)

よって、[セソ]＝－３，[トナ]＝－２

慣れない人にとっては計算が大変だったと思いますが、やることはごく単純です。
代入して計算しただけですね！


次の記事→⑤[ニ]まで

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