2015年センター数学2B第4問ここまでの記事→①[ウ]まで、②比の表し方
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■ 問題
第4問
1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、∠AOC=120°とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点QをOP⊥OQとなるようにとる。
→ → → →
以下、OA=a,OB=bとおく。
→ → →
(1) 三角形OPQの面積を求めよう。OP=([ア]/[イ])a+([ウ]/[イ])bである。実数tを用いて
→ → → → → →
OQ=(1-t)OB+tOCと表されるので、OQ=[エ]ta+bである。
→ → → →
ここで、a・b=[オ]/[カ],OP・OQ=[キ]であることから、t=[ク]/[ケ]である。
→ →
これらのことから、|OP|=√[コ]/[サ],|OQ|=√[シス]/[セ]である。
よって、三角形OPQの面積S1は、S1=[ソ]√[タ]/[チツ]である。
(2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。OTをaとbを用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう。
Tは直線OR上の点であり、直線PQ上の点でもあるので、実数r,sを用いて
→ → → →
OT=rOR=(1-s)OP+sOQ
と表すと、r=[テ]/[ト],s=[ナ]/[ニ]となることがわかる。よって、
→ → →
OT=([ヌネ]/[ノハ])a+([ヒ]/[フ])bである。
上で求めたr,sの値から、三角形OPQの面積S1と、三角形PRTの面積S2との比は、S1:S2=[ヘホ]:2である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
→ → →
では、OQをa,bで表してみましょう。
→ →
QはBC上の点なので、まずOB,OCを表す必要があります。
→ → → → →
問題文にOB=bは書いてあるので、OCをa,bで表します。
複数の考え方がありますが、ここでは最も初歩的な「OからCまで行く道筋」で考えてみましょう!
OからCまで行くには、例えばO→B→Cと進む事ができます。
→ →
これをベクトルで表すと、OB+BCです。
→ →
ここでBCはOAに並行で向きが反対です。ならば、BC=-OAです。
ベクトルは「大きさと向き」を表す数量であり、その位置は関係ないからです。
これらをOQの式に入れてみると、
→ → →
OQ=(1-t)OB+tOC
=(1-t)OB+t(OB-OA)
=(1-t)b+t(b-a)
=b-tb+tb-ta
→ →
=-ta+b
よって、[エ]=-
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