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この記事では、2015年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問の[エ]までを解説します。


2015年センター数学２Ｂ第４問ここまでの記事→①[ウ]まで、②比の表し方

★「青本」2019年数学	★「赤本」2019年数学

■　問題

第４問

　１辺の長さが１のひし形ＯＡＢＣにおいて、∠ＡＯＣ＝120°とする。辺ＡＢを２：１に内分する点をＰとし、直線ＢＣ上に点ＱをＯＰ⊥ＯＱとなるようにとる。
　　　 →　 →　 →　 →
以下、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂとおく。
　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　　　　　　　 →　　　　　　　→
(1) 三角形ＯＰＱの面積を求めよう。ＯＰ＝([ア]／[イ])ａ＋([ウ]／[イ])ｂである。実数ｔを用いて
→　　　　　　→　　　→　　　　　　　　　→　　　　 →　→
ＯＱ＝(１－ｔ)ＯＢ＋ｔＯＣと表されるので、ＯＱ＝[エ]ｔａ＋ｂである。
　　　　→　→　　　　　　　 →　　→
ここで、ａ・ｂ＝[オ]／[カ]，ＯＰ・ＯＱ＝[キ]であることから、ｔ＝[ク]／[ケ]である。
　　　　　　　　　　　→　　　　　　　　　　→
　これらのことから、|ＯＰ|＝√[コ]／[サ]，|ＯＱ|＝√[シス]／[セ]である。
よって、三角形ＯＰＱの面積Ｓ1は、Ｓ1＝[ソ]√[タ]／[チツ]である。

(2) 辺ＢＣを１：３に内分する点をＲとし、直線ＯＲと直線ＰＱとの交点をＴとする。ＯＴをａとｂを用いて表し、三角形ＯＰＱと三角形ＰＲＴの面積比を求めよう。

　Ｔは直線ＯＲ上の点であり、直線ＰＱ上の点でもあるので、実数ｒ，ｓを用いて
　　　 →　　　→　　　　　　→　　　→
　　　ＯＴ＝ｒＯＲ＝(１－ｓ)ＯＰ＋ｓＯＱ

と表すと、ｒ＝[テ]／[ト]，ｓ＝[ナ]／[ニ]となることがわかる。よって、
→　　　　　　　　　 →　　　　　　　→
ＯＴ＝([ヌネ]／[ノハ])ａ＋([ヒ]／[フ])ｂである。

　上で求めたｒ，ｓの値から、三角形ＯＰＱの面積Ｓ1と、三角形ＰＲＴの面積Ｓ2との比は、Ｓ1：Ｓ2＝[ヘホ]：２である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■　おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■　解説

　　　 →　 →　→
では、ＯＱをａ，ｂで表してみましょう。
　　　　　　　　　　　　　 →　　→
ＱはＢＣ上の点なので、まずＯＢ，ＯＣを表す必要があります。
　　　　 →　 →　　　　　　　　　 →　 →　→
問題文にＯＢ＝ｂは書いてあるので、ＯＣをａ，ｂで表します。

複数の考え方がありますが、ここでは最も初歩的な「ＯからＣまで行く道筋」で考えてみましょう！

ＯからＣまで行くには、例えばＯ→Ｂ→Ｃと進む事ができます。
　　　　　　　　　　　　 →　　→
これをベクトルで表すと、ＯＢ＋ＢＣです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　　　→
ここでＢＣはＯＡに並行で向きが反対です。ならば、ＢＣ＝－ＯＡです。
ベクトルは「大きさと向き」を表す数量であり、その位置は関係ないからです。

これらをＯＱの式に入れてみると、
→　　　　　　→　　　→
ＯＱ＝(１－ｔ)ＯＢ＋ｔＯＣ
　　＝(１－ｔ)ＯＢ＋ｔ(ＯＢ－ＯＡ)
　　＝(１－ｔ)ｂ＋ｔ(ｂ－ａ)
　　＝ｂ－ｔｂ＋ｔｂ－ｔａ
　　　　　→　→
　　＝－ｔａ＋ｂ

よって、[エ]＝－


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