2015年センター数学2B第4問 ⑨[フ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第4問の[フ]までを解説します。


2015年センター数学2B第4問ここまでの記事→①[ウ]まで②比の表し方③[エ]まで④[キ]まで⑤[ケ]まで⑥[セ]まで⑦[チツ]まで⑧R,Tに関する式





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

第4問

 1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、∠AOC=120°とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点QをOP⊥OQとなるようにとる。
    →  →  →  →
以下、OA=a,OB=bとおく。
                  →        →       →
(1) 三角形OPQの面積を求めよう。OP=([ア]/[イ])a+([ウ]/[イ])bである。実数tを用いて
→      →   →         →     → →
OQ=(1-t)OB+tOCと表されるので、OQ=[エ]ta+bである。
    → →        →  →
ここで、a・b=[オ]/[カ],OP・OQ=[キ]であることから、t=[ク]/[ケ]である。
           →          →
 これらのことから、|OP|=√[コ]/[サ],|OQ|=√[シス]/[セ]である。
よって、三角形OPQの面積S1は、S1=[ソ]√[タ]/[チツ]である。

(2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。OTをaとbを用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう。

 Tは直線OR上の点であり、直線PQ上の点でもあるので、実数r,sを用いて
    →   →      →   →
   OT=rOR=(1-s)OP+sOQ

と表すと、r=[テ]/[ト],s=[ナ]/[ニ]となることがわかる。よって、
→          →       →
OT=([ヌネ]/[ノハ])a+([ヒ]/[フ])bである。

 上で求めたr,sの値から、三角形OPQの面積S1と、三角形PRTの面積S2との比は、S1:S2=[ヘホ]:2である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

⑧R,Tに関する式で求めたように、
→   →      →   →
OT=rOR=(1-s)OP+sOQなので、今まで求めたものを使って、
a,bについての等式を作る事ができます。

比較しやすくするため、少し式を整理しておきましょう。
→          →     →        → →
OT=(1-s){(2/3)a+(1/3)b}+s{-(5/4)a+b}
  =(1-s)(2/3)a+(1-s)(1/3)b-(5/4)sa+sb
                  →            →
  ={(1-s)(2/3)-(5/4)s}a+{(1-s)(1/3)+s}b
  →    →  →
rOR=r(-a+4b)/4
         →  →
   =(-r/4)a+rb
            → →
これらの式は等しいので、aとbの係数も等しくなります。
つまり、

(1-s)(2/3)-(5/4)s=-r/4
(1-s)(1/3)+s=r

という2つの式ができます。
これらを連立して解くと、r=7/9,s=1/3となります。
(計算は省略しました)

→   →
OT=rORなので、
→        →  →
OT=(7/9){(-a+4b)/4}
  =-(7/9)(1/4)a+(7/9)(4/4)b
         →     →
  =-(7/36)a+(7/9)b

よって、[テ]=7,[ト]=9,[ナ]=1,[ニ]=3,[ヌネ]=-7,[ノハ]=36,[ヒ]=7,[フ]=9


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