2018年センター数学1A第5問 ④[ソ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第5問の[ソ]までを解説します。


2018年センター数学1A第5問ここまでの記事→①BCの長さ②[ウ]まで③[ケ]まで






★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。

 ∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]である。

 点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。

 次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。

 BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点[サ]の側の延長上にある。

{0} <  {1} =  {2} >  {3} A  {4} C

 その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。

 次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。

 点Dは△ABFの[タ]。

{0} 外心である  {1} 内心である  {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

さらに、EDの延長とACの延長の交点をFとして、CF/AFを聞いています。

だいたいこのような形になります。

参考図

最終的には、このBとFを結び、△ABFを考えます。

このような形のときは・・・

メネラウスの定理が使えますね!

頂点からそれぞれの対辺に線が引いてあるようなときは、メネラウスの定理を使うことができます。
三角形を1周するように辺を使ったときの比の積が1になる。という定理です。

今回は、CF/AFを表したいので、

(CF/AF)・(AE/EB)・(BD/DC)=1

とします。
ここまでにわかっている辺の長さを代入して、

 (CF/AF)・{(8/9)・(10/9)}・{(2√5/3)・(√5/3)}
=(CF/AF)・(4/5)・(2/1)       ←それぞれの分数を約分
=(CF/AF)・(8/5)=1          ←イコール1とした
       CF/AF=5/8        ←両辺を8/5で割った

CはAF上の点なので、CはAFを3:5に分けることがわかります。

問題文にあるように、AC=1なので、

AC:CF=3:5
 1:CF=3:5
  3CF=5
   CF=5/3

よって、[シ]=5,[ス]=8,[セ]=5,[ソ]=3


次の記事→⑤[タ]まで

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