2018年センター数学1A第5問 ⑥誘導の内容の確認

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第5問の誘導の内容の確認について解説します。


2018年センター数学1A第5問ここまでの記事→①BCの長さ②[ウ]まで③[ケ]まで④[ソ]まで⑤[タ]まで






★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。

 ∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]である。

 点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。

 次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。

 BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点[サ]の側の延長上にある。

{0} <  {1} =  {2} >  {3} A  {4} C

 その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。

 次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。

 点Dは△ABFの[タ]。

{0} 外心である  {1} 内心である  {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

実際のセンター試験のときは時間もないので、

「したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。」

のように書いてあれば、特に検証せずにそれを使って解けばOKですが、普段の勉強では、本当にそうなのかちゃんと調べるようにした方が良いです。それ自体が練習になりますし、問題の条件が異なれば、その「BFの長さ」「CF/AC=BF/AB」を問われるかも知れませんよね?

だから、「単に解いて終わり」ではなく、今回の問題では直接問われていなくても、出せるものは出してみる。というところまでやるようにしておくのがオススメです。

ではBFを出してみましょう!

BFは△ABFの辺で、∠Aは直角であることがわかっているので、三平方の定理が成り立ちます。つまり、

BF^2=AB^2+AF^2
   =2^2+(8/3)^2
   =4+64/9
   =(36+64)/9
   =100/9
 BF=10/3

CF/AC=BF/ABであるかどうかを調べたいので、左辺と右辺をそれぞれ計算してみます。

(左辺)=CF/AC=(5/3)/1=5/3
(右辺)=BF/AB=(10/3)/2=5/3

よって、CF/AC=BF/ABですね!

このように確認できれば、ここまで求めたものが間違っていないこともわかるので、時間に余裕があれば、実際のセンター試験でもやってみると理想的です。


次の記事→⑦解答一覧と公式・性質

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