2013年大学入試センター試験数学1A第3問

この記事では、2013年大学入試センター試験数学1A第3問を解説します。

なお、後日この記事は修正を予定しています。








★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

第3問

 点Oを中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の
円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA,Bとする。また、
円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。
弦ACと円Pの接点をDとする。このとき

   AP=√[アイ],OD=[ウ]√[エオ]/[カ]

である。さらに、cos∠OAD=[キ]/[ク]であり、AC=[ケコ]/[サ]である。

 △ABCの面積は[シスセ]/[ソタ]であり、△ABCの内接円の半径は
[チ]/[ツ]である。


(1) 円Oの周上に、点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。△ABCの
 内接円の中心をQとし、△CEAの内接円の中心をRとする。このとき、
 QR=[テト]/[ナ]である。したがって、内接円Qと内接円Rは[ニ]。
  [ニ]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

 {0} 内接する  {1} 異なる2点で交わる
 {2} 外接する  {3} 共有点を持たない

(2) AQ=[ヌ]√[ネノ]/[ハ]であるから、PQ=√[ヒフ]/[ヘ]となる。
 したがって、[ホ]。

 {0} 点Pは内接円Qの周上にある
 {1} 点Qは円Pの周上にある
 {2} 点Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの内部にある
 {3} 点Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの外部にある

※分数は(分子)/(分母)、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

■ 解説目次

 ◆1 必ず解ける問題しか出題されない
 ◆2 図を描いて情報を整理
 ◆3 直角三角形なら三平方の定理で充分!
 ◆4 2組の角がそれぞれ等しいなら相似
 ◆5 コサインなら余弦定理
 ◆6 直角三角形はサインコサインの値にも利用できる
 ◆7 面積なら2辺とはさむ角
 ◆8 内接円なら三角形の辺は接線になる
 ◆9 また直角三角形ならまた三平方の定理で充分!
 ◆10 直径は中心を通る
 ◆11 2辺と1角がわかったので余弦定理・・・でも良いけど
 ◆12 直角三角形を作った方が簡単かも
 ◆13 円や接線を丁寧に描くと簡単に気づきそう?
 ◆14 円の位置関係は、中心間の距離と半径で判断

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 ◆1 必ず解ける問題しか出題されない

旧課程では第3問は三角比の問題が出題されていました。

良く読めばそれまでの年と大差ない問題だとわかるはずですが、一見すると
珍しいタイプの問題のように見えます。

「なんだコレ!?見たことない問題だ!無理~」

というように焦ってワケわからなくなってしまった受験生が多数いたそうです。
しかし、そんなときこそ、落ち着いて内容をしっかり把握することが大切です。
大学入試には、充分な準備をしてきた人なら必ず解ける問題しか出ません。

気持ちを落ち着けるには、とりあえず、基本的な公式を書いて一息つくと良いかも
知れませんね。

★ sinθ=y/r(斜め分の縦)
★ cosθ=x/r(斜め分の横)
★ tanθ=y/x(横分の縦)
★ (sinθ)^2+(cosθ)^2=1 (斜辺が1の直角三角形の三平方の定理)
★ tanθ=sinθ/cosθ (タンジェントの定義より)
★ 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
★ 余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc・cosA


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 ◆2 図を描いて情報を整理

まずは図を描いて、情報を整理してみましょう!

まず、「点Oを中心とする半径3の円O」がある。
そして「点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円P」がある。
つまり、円Oの内部に円Pがあって、円Pは円Oの中心を通っていることが
わかります。

次に「円PのOにおける接線」を引き、それが「円Oと交わる点をA,B」と
する。
さらに「円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するように」
とり、この「弦ACと円Pとの接点をD」とする。
つまり、円Pには2本の接線があり、2本とも円Oの周上の点Aから引いた線で、
片方は円Oの中心を通っている。もう一方は円Pの周上の点Dを通っている。
ということができます。

さらに、最初の設問で、AP,ODを聞いているので、それぞれ結び、長さが
わかるところは書き込んでみましょう。

まずはこんなかんじの図になります。

http://www.a-ema.com/img/1a2013_3a.png

ここまで丁寧に情報を確認したら、解けそうな気がしてきませんか?


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 ◆3 直角三角形なら三平方の定理で充分!

円があり、その内部に線が引いてある。そんなときに使うことは何がありますか?

正弦定理や余弦定理、円周角の定理や方べきの定理、接線の性質などが使える
かも知れませんね。
そんな意識を持ちながら、最初の設問について考えてみましょう!

まず最初はAPの長さを聞いています。

APを含む三角形を考えてみると、たとえば△AOPがあります。
この三角形に注目してみると・・・

問題の設定から直接わかるのは、AO,OB,OP,DPとADの長さです。
これらは全て円Oか円Pの半径になっています。

△AOPの辺では、AO=3,OP=1の、2辺がわかっているので、この他に
1角か1辺がわかれば、余弦定理が使える。という方針です。

線分ABは円Pの接線です。
接線は接点に引いた半径と垂直に交わるので、AB⊥OPです。
つまり、∠AOP=90°

これで残り1角がわかったので、余弦定理で・・・
でも構いませんが、直角三角形ならば三平方の定理で充分ですね!

AP^2=AO^2+OP^2      ←斜辺の2乗=残り2辺の2乗の和
   =32+12
=9+1
=10
AP=√10           ←両辺の平方根をとった

よって、[アイ]=10


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 ◆4 2組の角がそれぞれ等しいなら相似

次はODの長さを聞いています。

ODの長さを求めたいのだから、まずはODを含む三角形を考えます。

例えば、△AODや△PODがありますね。
どちらも2辺はわかっています。
2辺がわかっていれば、先ほどと同様にこれらで正弦定理や余弦定理を・・・
といきたいところですが、あと1辺か1角がなかなかわからない。ので、
他のことをやってみる必要があるようです。

ODが直接わからないなら、ODの一部でもわかると何とかなるかもしれません。

この場合は、APとODの交点をEとすると、EはODの中点になります。
1点から1つの円に引いた2本の接線との接点を結んだ弦と、1点から円の中心を
結んだ線は垂直に交わる。という性質がありますね。

ここで、いくつかの角を見てみると、直角があったり、共通な角があったりと、
いかにも相似な三角形がありそうです。

△AOPと△OEPは、どちらも直角があり、共通の角があるので、相似条件
「2組の角がそれぞれ等しい」を満たし、相似であることが確認できます。
相似な図形の対応する辺の比は等しいので、

 AP:AO=OP:OE
 √10:3=1:OE
√10・OE=3             ←外同士中同士を掛けた
   OE=3/√10

(1/2)OD=OEより、

OD=2(3√10)/10
  =(3√10)/5

よって、[ウ]=3,[エオ]=10,[カ]=5

ここまでは、高校入試レベルと言っても差し支えないです。
ODは(高校入試レベルとしては)ちょっとは難しいが、ちゃんと図を描いて
いけば、誰でも解き方に気づける問題といえます。大学入試だからと言って、
高校で習ったことだけを使うとは限りません。

中学で習ったことを使うほうが簡単な場合もある。と心構えだけはしておこう!


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 ◆5 コサインなら余弦定理

次はcos∠OADを聞いています。

コサインの値を求めるためには、とにかく、コサインが入っている式を作れば
よい。と考えます。
cos∠OADについての方程式が作れれば、あとは解きさえすれば、
その値はわかる。というイメージです。

コサインが入っている式といえば、もちろん余弦定理ですね。

余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bc・cosA

左辺にはコサインで使う角の対辺がくることに注意!

この問題の場合は、cosAのところは、cos∠OADとなるので、
その対辺のODの長さを左辺のaに代入します。

     OD^2=AO^2+AD^2-2AO・AD・cos∠OAD
(3√10/5)^2=3^2+3^2-2・3・3・cos∠OAD
9×10/25=9+9-18cos∠OAD
   90=25(18-18cos∠OAD)  ←両辺に25を掛けた
  5=25(1-cos∠OAD) ←両辺を18で割った
       1=5-5cos∠OAD ←両辺を5で割った
      -4=-5cos∠OAD ←移項した
∴cos∠OAD=4/5

よって、[キ]=4,[ク]=5


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 ◆6 直角三角形はサインコサインの値にも利用できる

そして次はACの長さです。

三角比の問題で辺の長さを出すためには、求めたい辺を含む三角形に着目し、
余弦定理や正弦定理を使うことが多いです。

余弦定理を使うためには、2辺と1角
正弦定理を使うためには、2角と1辺または外接円の半径

が必要です。

△ABCに着目すると、ABはわかっているが、BCがわからない。
∠Aは今出した∠OADなのでわかっている。が、∠Bがわからず、∠Cも・・・
いや、∠Cは半円に対する円周角なので、直角になるようです。

すると、2角がわかっているので、残り1角もわかり、正弦定理が使える!
しかも、円Oは△ABCの外接円で、AO=BO=3が半径になります。

ACの対角は∠Bなので、sin∠Bを表せば、正弦定理でACが出る。もちろん
それでも構いませんが、それよりも、もっと簡単に解ける着眼点があります。
それは・・・

△ABCが直角三角形であることと、先ほど求めたcos∠OADを利用して
みると、かなり簡単に解くことができます。

∠C=90°なので、コサインの定義より、cos∠OAD=AC/ABです。
代入して計算すると、

4/5=AC/6
5AC=24         ←両辺に30を掛けて入れ替えた
AC=24/5

よって、[ケコ]=24,[サ]=5


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 ◆7 面積なら2辺とはさむ角


次は△ABCの面積を聞いています。
でも、いきなり「面積面積・・・」とならずに、わかったことを整理し、何が
できるのか、何をするべきなのか確認しましょう!

三角形の面積の公式は、S=(1/2)bc・sinAで表されます。

bcとAは、必ずしもこの文字でなければいけないというわけではなく、
2辺とはさむ角の関係になれば何でもOKです。

つまり、三角形の面積を聞かれたときは、その三角形の辺と角のうち、2辺と
はさむ角がわかるような組合せを探していけばよいわけです。

cos∠OADはすでに求めているので、sin∠OADはすぐわかる。
ならば、∠OADをはさむ2辺つまり、ABとCAが使える!というわけですね!

では、まずはsin∠OADを求めてみましょう!

三角比の相互関係より(sinθ)^2+(cosθ)^2=1で、∠OAD=θとすると
cosθ=4/5なので、

(sinθ)^2+(4/5)^2=1
      (sinθ)^2=1-16/25    ←移項した
      (sinθ)^2=9/25       ←通分して引いた
        sinθ=3/5        ←両辺の平方根

このサインの値と、AB=6,CA=24/5を面積の公式に代入して、

S=(1/2)×6×(24/5)×(3/5)
 =216/25

よって、[シスセ]=216,[ソタ]=25


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 ◆8 内接円なら三角形の辺は接線になる

そして次は△ABCの内接円の半径を聞いています。
内接円の半径を使った公式はありますが、特に使う必要はありません。
ここまでの情報で問題なく出すことができるし、図形の性質を利用して求められる
ようにしておいた方が何かと良いです。。

まず基本的な性質を確認しながら、一つ一つわかることをみていきましょう。

内接円ということは、円が三角形の内部にあり3辺に接するので、三角形の3辺
は内接円の接線になります。ならば、接線の性質が使える!という方向性です。

円の接線は接点に引いた半径と垂直に交わるので、AB,BC,CAと内接円の
半径は垂直に交わる。

内接円の中心と頂点A,B,Cを結ぶと△ABCを3つの小さな三角形に分割
することができる。これらの分割した三角形の高さは、全て内接円の半径になる。

この半径をrとすると、辺ABを底辺とする三角形の面積は、AB・r÷2となる。

同様に他の三角形は、BC・r÷2,CA・r÷2となる。

これら3つの三角形の面積を合計すると、先ほど◆7で出した△ABCの面積と
等しくなるはずです。やってみましょう!

(1/2)AB・r+(1/2)BC・r+(1/2)CA+r=216/25
            (1/2)r(AB+BC+CA)=216/25
                r(AB+BC+CA)=432/25

まずは、内接円の半径と三角形の辺に関する式ができました。


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 ◆9 また直角三角形ならまた三平方の定理で充分!

r(AB+BC+CA)=432/25に、AB,BC,CAを代入して・・・
といきたいところですが、BCはまだわからないので、そうもいかないようです。

ならば、BC求めなければいけない。ということで、何をすれば良いかというと、

△ABCはすでに2辺と2角がわかっているので、BCは、正弦定理でも余弦定理
でも求めることができます。さらに、△ABCは直角三角形なのだから、単純に
三平方の定理を使う。と考えるのが一番簡単そうです。やってみましょう!

AB^2=BC^2+CA^2
 6^2=BC^2+(24/5)^2      ←AB=6,CA=24/5を代入
 36=BC2+576/25
BC^2=36-576/25       ←移項した
BC^2=(900-576)/25     ←通分した
BC^2=324/25
 BC=18/5            ←両辺の平方根

 これでBCがわかったので、先ほど作った式に3辺を代入してみよう!
   r(AB+BC+CA)=432/25
r(6+18/5+24/5)=432/25
  5r(30+18+24)=432   ←両辺に25を掛けた
         360r=432
            r=6/5

よって、[チ]=6,[ツ]=5


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 ◆10 直径は中心を通る

次はまた新しく設定が現れました。しっかり図を描きながら、条件を把握して
いきましょう!

「円Oの周上に、点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる」とあります。
「線分CEが円Oの直径となる」ためには、円Oの中心を通る必要があるので、
これは「線分CEは点Oを通る」と言っているのと同じですね。

そして、「△ABCの内接円の中心をQ」として「△CEAの内接円の中心をR」
とするそうです。

その通りに図を描いてみると、このようになります。

http://www.a-ema.com/img/1a2013_3c.png

円Qは△ABCの内接円なので、その半径は6/5です。

円周角の定理より、∠AEC=∠CBA,∠EAC=∠BCA=90°

さらに、ACは共通なので、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ABC≡△CEAより、円Rの半径も6/5であることがわかります。

円R,Qはともに、線分ACに接するので、RQ//ACです。

ということは、RQ=AC-(Rの半径+Qの半径)ということができますね。

AC=24/5,円Rの半径=円Qの半径=6/5を代入すると、

RQ=24/5-(6/5+6/5)
  =24/5-12/5
  =12/5

よって、[テト]=12,[ナ]=5

この12/5は、円R,Qの半径のちょうど2倍です。
ならば、円Rと円Qは外接するので、[ニ]={2}ということができます。


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 ◆11 2辺と1角がわかったので余弦定理・・・でも良いけど

(2)では、まずAQを聞いているので、図でもAとQを結んでみましょう。

先ほど◆10で、RQを求めたので、RQを使って、△AQRに着目する。という
のも、なかなか良い考えですね。

2辺と1角がわかれば余弦定理が使えるので、円や直角がある場合はそれで
解決!という場合も多いです。

ARは∠EACを2等分するので、45°
45°90°の直角三角形ができたので、ARの長さは円Rの半径の√2倍です。

さらに、∠RAC=45°なので、∠ARQ=135°となります。
2辺と1角がわかったので、余弦定理を使って方程式を作ることができます。

やってみよう!・・・と言いたいところだが、実はもっと簡単にできるのです。
もちろん、これ以外の解き方を見つけようとして、時間がかかってしまったら
元も子もないので、実際のセンター試験のときは、確実に解ける方法がわかったら
そのまま突っ走った方がよい場合が多いです。

練習の段階では、様々な解き方があることを理解して、色々なタイプの問題に
対処できるようにしていくのが良いと思います。


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 ◆12 直角三角形を作った方が簡単かも

他の候補としては、△AQCなどが挙がると思います。
しかし、これは△AQRの場合とほとんど変わらないですね。

他の方法はないでしょうか?

実はこの問題は、余弦定理などという高等技術(?)を使う必要すらありません。

QからACに垂線を引くと、その垂線の足はちょうどACと円Qとの接点を通る。
この接点をQ'とおくと、△AQQ'は直角三角形となる。

直角三角形ならば、もちろん三平方の定理が使えます。

QQ'は円Qの半径で、AQ'=AC-(円Qの半径)です。
直角三角形△AQQ'は、2辺の長さがわかりました。
それならば、三平方の定理の式に代入して計算できますね!

AQ^2=(AQ')^2+(QQ')^2
   ={(24-6)/5}^2+(6/5)^2
   =(18/5)^2+36/25
   =324/25+36/25
   =360/25
AQ=√(360/25)
  =(6√10)/5

よって、[ヌ]=6,[ネノ]=10,[ハ]=5


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 ◆13 円や接線を丁寧に描くと簡単に気づきそう?

AQがわかると、PQは簡単にわかる。・・・はずだが、ちゃんと図を把握して
いないと、全くわからない人も多いと思います。
ここで、PやQについてもう一度確認しましょう!

点PはOを通る円の中心なので、円PはABと接している。

また、ACは点Dで円Pと接するように描いたので、円PはACと接している。

つまり、円PはAB,ACの両方と接している。

点Qは△ABCの内接円なので、もちろんAB,ACとは接している。

ということは、APを結んだ線上にQもある。つまり・・・

A,P,Qは一直線上にあるということができます。

一直線上にあるならば、PQ=AQ-APですね!
◆3で求めたように、AP=√10。今◆12で求めたようにAQ=(6√10)/5
なので、

PQ=(6√10)/5-√10
  =(6√10)/5-(5√10/5)
  =√10/5

よって、[ヒフ]=10,[ヘ]=5


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 ◆14 円の位置関係は、中心間の距離と半径で判断

いよいよ2013年第3問最後の問題です!
最後は、点Pと点Qの位置関係を聞いています。

点P,Qは、円P,Qの中心なので、これら2つの円の半径と、中心間の距離を
比較してみればOK!

今求めたように、PQ=√10/5です。
このPQと円P,Qの半径を比較すると、位置関係がわかります。

3<√10<4なので、0.6<√10/5<0.8より、0.6<PQ<0.8
であることがわかります。

円Pの半径は1,円Qの半径は6/5なので、2円の中心間の距離は、両方の
半径よりも小さいですね。

ということは、点Pは円Qの内部にあり、点Qは円Pの内部にあるに違いない。
と推理できるはずです。

よって、[ホ]={2}


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今回取り上げた問題の解説は以上です。理解できましたか?
できた人もできなかった人も、ここでいったん、解説の目次に戻って、解答に
至るためにはどんなことを考えて、何を利用すれば良いのか見直してください。
各小見出しが手がかりとなって、進むべき道がよりはっきり見えるはずです。
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■ 今回の公式・定理など

★ 三平方の定理a^2+b^2=c^2
★ 相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」
★ 余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc・cosA
★ cosθ=x/r(直角三角形の横/斜辺)
★ 三角形の面積S=(1/2)bc・sinA
★ 内接円なら三角形の辺は接線になる
★ 直径は円の中心を通る
★ 円周角の定理「同一の弧に対する円周角は等しい」
★ 円の中心間の距離がそれぞれの半径より小さければ、交わる

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■ 解答一覧

[アイ]=10,[ウ]=3,[エオ]=10,[カ]=5,[キ]=4,[ク]=5,
[ケコ]=24,[サ]=5,[シスセ]=216,[ソタ]=25,[チ]=6,
[ツ]=5,[テト]=12,[ナ]=5,[ニ]=2,[ヌ]=6,[ネノ]=10,
[ハ]=5,[ヒフ]=10,[ヘ]=5,[ホ]=2

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■ 編集後記

ということで、2013年数学1A第3問でした。

ちなみに、今回解説では使用しませんでしたが、正弦定理や方べきの定理、
内接円の公式を使っても、もちろん構いません。
「こんな方法はどう?」といった疑問も受け付けます。

解説の間違い・不足や、何かリクエストなどありましたら、何でもいいので、
お気軽にご連絡ください。

お寄せいただいたメッセージは、今後のメルマガや号外、アプリなどに反映
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