2019年センター数学2B第1問[1] ⑥[キ],[ク],[ケ]

この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[キ],[ク],[ケ]を解説します。


ここまでの記事→①[アイ]まで②[エ]まで③2倍角の公式④[カ]まで⑤サインの2倍角


■ 問題

2019年大学入試センター試験数学2Bより

第1問

[1] 関数f(θ)=3(sinθ)^2+4sinθcosθ-(cosθ)^2を考える。

(1) f(0)=[アイ],f(π/3)=[ウ]+√[エ]である。

(2) 2倍角の公式を用いて計算すると、(cosθ)^2=(cos2θ+[オ])/[カ]
となる。さらに、sin2θ,cos2θを用いてf(θ)を表すと

  f(θ)=[キ]sin2θ-[ク]cos2θ+[ケ]……{1}

となる。

(3) θが0≦θ≦πの範囲を動くとき、関数f(θ)のとり得る最大の整数の値mと
そのときのθの値を求めよう。
 三角関数の合成を用いると、{1}は

  f(θ)=[コ]√[サ]sin(2θ-π/[シ])+[ケ]

と変形できる。したがって、m=[ス]である。

 また、0≦θ≦πにおいて、f(θ)=[ス]となるθの値は、小さい順に
π/[セ],π/[ソ]である。


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■ 解説

f(θ)を変形した目標の式を改めて見てみると、sin2θとcos2θがあり、
それら以外は何らかの定数項になっていると推測できます。

4sinθcosθや、(cosθ)^2は、③2倍角の公式④[カ]まで⑤サインの2倍角で表した式を用いて消せますが
(sinθ)^2はどうすればいいでしょうか?
これがわからず、ここで諦めてしまった人もいると思います。
しかし、実はここら辺までは、まだまだ基本事項です。
何をすれば良いかと言うと・・・またもや相互関係ですね!

(sinθ)^2=1-(cosθ)^2だから、

f(θ)=3{1-(cosθ)^2}+4sinθcosθ-(cosθ)^2

と直すことができます。これを計算して、

   =3-3(cosθ)^2+4sinθcosθ-(cosθ)^2
   =3-4(cosθ)^2+4sinθcosθ
   =3-4(cos2θ+1)/2+2sin2θ
   =3-2cos2θ-2+2sin2θ
   =2sin2θ-2cos2θ+1

よって、[キ]=2,[ク]=2,[ケ]=1


次の記事→⑦三角関数の合成


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