高校数学「2次関数」頂点の座標

高校数学「2次関数」頂点の座標

2009年のセンター試験に、次の2次関数の頂点を求める問題が出題されました。

y=2x^2-4(a+1)x+10a+1

頂点を求めるには平方完成ですね。
これを平方完成すると、次のようになります。

①まずはxの2乗の係数でくくる
y=2{x^2-2(a+1)x}+10a+1

②1行空けて括弧の2乗をつくる
y=2{x^2-2(a+1)x}+10a+1
 =
 =2{x-(a+1)}^2

③空けた行に括弧の2乗を展開する
y=2{x^2-2(a+1)x}+10a+1
 =2{x^2-2(a+1)x+(a+1)^2-(a+1)^2}+10a+1 ←中括弧の中には(a+1)^2がなかったので相殺した
 =2{x-(a+1)}^2

④括弧の2乗を作るために使わなかった項を3行目に書き足す
y=2{x^2-2(a+1)x}+10a+1
 =2{x^2-2(a+1)x+(a+1)^2-(a+1)^2}+10a+1
 =2{x-(a+1)}^2-2(a+1)^2+10+1

⑤定数項をまとめて完成
y=2{x^2-2(a+1)x}+10a+1
 =2{x^2-2(a+1)x+(a+1)^2-(a+1)^2}+10a+1
 =2{x-(a+1)}^2-2(a^2+2a+1)+10a+1
 =2{x-(a+1)}^2-2a^2-4a-2+10a+1
 =2{x-(a+1)}^2-2a^2+6a-1

ということで、この2次関数の頂点の座標は(a+1,-2a^2+6a-1)ですね!


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