共通テスト・センター数学を理由の理由まで解説するブログ

この記事では、2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第２問の[ネ]までを解説します。


2019年数学２Ｂ第２問ここまでの記事→①導関数、②極値、③積分、④[ア]まで、⑤ｆ'(ｘ)の式、⑥[ウエ]まで、⑦[カキ]まで、⑧[コ]まで、⑨[シ]まで、⑩[セ]まで、⑪[ソタ]まで、⑫[テ]まで、⑬[ニ]まで


■　問題

2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第２問より

第２問

　ｐ，ｑを実数とし、関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘはｘ＝－１で極値２を
とるとする。また、座標平面上の曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をＣ，放物線ｙ＝－ｋｘ^2をＤ，
放物線Ｄ上の点(ａ，－ｋａ^2)をＡとする。ただし、ｋ＞０，ａ＞０である。

(1) 関数ｆ(ｘ)がｘ＝－１で極値をとるので、ｆ'(－１)＝[ア]である。これと
ｆ(－１)＝２より、ｐ＝[イ]，ｑ＝[ウエ]である。よって、ｆ(ｘ)はｘ＝[オ]で
極小値[カキ]をとる。

(2) 点Ａにおける放物線Ｄの接線をｌとする。Ｄとｌおよびｘ軸で囲まれた図形の
面積Ｓをａとｋを用いて表そう。

　ｌの方程式は

　　ｙ＝[クケ]ｋａｘ＋ｋａ^[コ]　……{1}

と表せる。ｌとｘ軸の交点のｘ座標は[サ]／[シ]であり、Ｄとｘ軸および直線
ｘ＝ａで囲まれた図形の面積は(ｋ／[ス])ａ^[セ]である。よって、
Ｓ＝(ｋ／[ソタ])ａ^[セ]である。

(3) さらに、点Ａが曲線Ｃ上にあり、かつ(2)の接線ｌがＣにも接するとする。
このときの(2)のＳの値を求めよう。

　ＡがＣ上にあるので、ｋ＝[チ]／[ツ]－[テ]である。

　ｌとＣの接点のｘ座標をｂとすると、ｌの方程式はｂを用いて

　　ｙ＝[ト](ｂ^2－[ナ])ｘ－[ニ]ｂ^2　……{2}

と表される。{2}の右辺をｇ(ｘ)とおくと

　　ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝(ｘ－[ヌ])^2・(ｘ＋[ネ]ｂ)

と因数分解されるので、ａ＝－[ネ]ｂとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、ａ^2＝[ノハ]／[ヒ]である。

　したがって、求めるＳの値は[フ]／[ヘホ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。



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■　解説

続いて今求めた{2}の式つまり、ｙ＝３(ｂ^2－１)ｘ－２ｂ^3の右辺をｇ(ｘ)と
おいて、「ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)」を考えます。

ｆ(ｘ)＝ｘ^3－３ｘでしたね。計算してみましょう！

　ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)
＝ｘ^3－３ｘ－{３(ｂ^2－１)ｘ－２ｂ^3}
＝ｘ^3－３ｘ－３(ｂ^2－１)ｘ＋２ｂ^3
＝ｘ^3－３(ｂ^2－１＋１)ｘ＋２ｂ^3
＝ｘ^3－３ｂ^2・ｘ＋２ｂ^3

３次式の因数分解なので、因数定理を用いて割り算をしてみます。

ｘ＝ｂのとき、ｂ^3－３ｂ^2・ｂ＋２ｂ^3＝０なので、(ｘ－ｂ)を因数にもつから、

＝(ｘ－ｂ)(ｘ^2＋ｂｘ－２ｂ^2)
＝(ｘ－ｂ)(ｘ－ｂ)(ｘ＋２ｂ)
＝(ｘ－ｂ)^2・(ｘ＋２ｂ)

よって、[ヌ]＝ｂ，[ネ]＝２


次の記事→⑮「ａ＝－[ネ]ｂ」の理由


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