この記事では、2019年大学入試センター試験数学2B第3問の[アイ]を解説します。
数学1A第2問[2]
数学2B第2問
前回の記事→①数列の公式
■ 問題
2019年センター試験数2Bより
第3問
初項が3,公比が4の等比数列の初項から第n項までの和をSnとする。また、
数列{Tn}は、初項が-1であり、{Tn}の階差数列が数列{Sn}であるような数列と
する。
(1) S2=[アイ],T2=[ウ]である。
(2) {Sn}と{Tn}の一般項は、それぞれ
Sn=[エ]^[オ]-[カ]
Tn=([キ]^[ク])/[ケ]-n-[コ]/[サ]
である。ただし、[オ]と[ク]については、当てはまるものを、次の{0}~{4}のうち
から一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
{0} n-1 {1} n {2} n+1 {3} n+2 {4} n+3
(3) 数列{an}は、初項が-3であり、漸化式
nan+1=4(n+1)an+8Tn (n=1,2,3,…)
を満たすとする。{an}の一般項を求めよう。
そのために、bn=(an+2Tn)/nにより定められる数列{bn}を考える。{bn}
の初項は[シス]である。
{Tn}は漸化式
Tn+1=[セ]Tn+[ソ]n+[タ] (n=1,2,3,…)
を満たすから、{bn}は漸化式
bn+1=[チ]bn+[ツ] (n=1,2,3,…)
を満たすことがわかる。よって、{bn}の一般項は
bn=[テト]・[チ]^[ナ]-[ニ]
である。ただし、[ナ]については、当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから
一つ選べ。
{0} n-1 {1} n {2} n+1 {3} n+2 {4} n+3
したがって、{Tn},{bn}の一般項から{an}の一般項を求めると
an={[ヌ]([ネ]n+[ノ])[チ]^[ナ]+[ハ]}/[ヒ]
である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説
では今回の問題を確認してみましょう!
「初項が3,公比が4の等比数列の初項から第n項までの和をSn」と言って
います。
最初の設問では、この数列のS2を求めます。
初項が3,公比が4なので、S2=3+3×4=15
よって、[アイ]=15
・・・一応これでも正解ですが、続きの問題のことも考えると、ちゃんと公式を
使って求められるようにしておいた方がよいです。
次の記事→③[アイ]の別解
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