本日配信のメルマガ。2012年センター数学2B第2問 微分積分

本日配信のメルマガでは、2012年大学入試センター試験数学2B第2問を解説します。


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■ 問題

2018年大学入試センター試験数学2Bより

第2問

 座標平面上で曲線y=x^3をCとし、放物線y=x^2+px+qをDとする。

(1) 曲線C上の点P(a,a^3)におけるCの接線の方程式は

  y=3a^[ア]・x-[イ]a^[ウ]

である。放物線Dは点Pを通り、DのPにおける接線と、CのPにおける接線
が一致するとする。このとき、pとqをaを用いて表すと

  {p=3a^[エ]-[オ]a
  {q=[カキ]a^3+a^[ク]   ・・・{1}

となる。


以下、p,qは{1}を満たすとする。


(2) 放物線Dがy軸上の与えられた点Q(0,b)を通るとき

  b=[ケコ]a^3+a^[サ]  ・・・{2}

が成り立つ。与えられたbに対して、{2}を満たすaの値の個数を調べよう。
 そのために、関数

  f(x)=[ケコ]x^3+x^[サ]

の増減を調べる。関数f(x)は、x=[シ]で極小値[ス]をとり、x=[セ]/[ソ]
で極大値[タ]/[チツ]をとる。

 関数y=f(x)のグラフをかくことにより、[ス]<b<[タ]/[チツ]のとき、
{2}を満たすaの値の個数は[テ]であることがわかる。


(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、a=[ト],[ナ]/[ニ]の二つの場合
である。a=[ト]のときの放物線をD1,a=[ナ]/[ニ]のときの放物線をD2
とする。D1,D2とx軸で囲まれた図形の面積は2^[ヌ]/3^[ネノ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値が0
 ◆3 積分は微分の逆で、面積
 ◆4 接線なので微分
 ◆5 一致するなら係数が同じ

(以下略)

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■ 解説

◆1~3は省略します。


 ◆4 接線なので微分

今回はまず接線について問われています。
ということは・・・微分ですね!

曲線Cの接線について調べたいなら、曲線Cを微分します。

y=x^3
y'=3x^2

曲線C上の点P(a,a^3)なので、今作ったy'の式にx=aを代入すると、
点Pにおける接線の傾きがわかります。

y'=3a^2

これが傾きを表す式です。
3次関数などの曲線の関数では、グラフ上の場所によって、接線の傾きが変化
します。その変化の仕方を表したのがy'の式なのです。

直線の式は★y-y1=m(x-x1)なので、これにPの座標とy'=m=3a^2
を代入すると、

y-a^3=3a^2・(x-a)
   y=3a^2・x-3a^2・a+a^3
   y=3a^2・x-2a^3

aは定数と考えるので、これはxとyについての1次関数です。
つまり、これが求める「CのPにおける接線」の式ですね!

よって、[ア]=2,[イ]=2,[ウ]=3


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 ◆5 一致するなら係数が同じ

そして、次は「放物線Dは点Pを通り、DのPにおける接線と、CのPにおける
接線が一致する」とあります。

CのPにおける接線は、今◆4で求めたので、DのPにおける接線を表して、
比較すればOKというわけですね!
やってみましょう!

微分すると、接線の傾きがわかります。


(以下略)


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