2020年センター数学2B第1問[2] ①[タチ]まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の[タチ]までを解説します。


2020年センター数学前回の問題→数学2B第1問[1]三角関数


昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


■ 問題

2020年センター試験数2Bより

第1問

[ 2 ]

(1) tは正の実数であり、t^(1/3)-t^(-1/3)=-3を満たすとする。このとき

 t^(2/3)+t^(-2/3)=[タチ]

である。さらに

 t^(1/3)+t^(-1/3)=√[ツテ],t-t^(-1)=[トナニ]

である。

(2) x,yは正の実数とする。連立方程式

 {log[3](x√y)≦5 ……{2}
 {log[81](y/x^3)≦1 ……{3}

について考える。

 X=log[3]x,Y=log[3]yとおくと、{2},{3}は

 [ヌ]X+Y≦[ネノ] ……{4}
 [ハ]X-Y≧[ヒフ] ……{5}

と変形できる。

 X,Yが{4}と{5}を満たすとき、Yのとり得る最大の整数の値は[ヘ]である。
また、x,yが{2},{3}とlog[3]y=[ヘ]を同時に満たすとき、xのとり得る
最大の整数の値は[ホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。




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■ 解説

(1) t^(1/3)-t^(-1/3)=-3という式が与えられて、t^(2/3)+t^(-2/3)の
値を聞いています。

ちなみに、t^(1/3)は、tの1/3乗です。
t^(2/3)はtの2/3乗です。

2/3乗は1/3乗を2乗したものですね。
だから、t^(1/3)-t^(-1/3)=-3の両辺を2乗してみれば、何とかなるのでは?
と考えて計算してみればOKです!

両辺を2乗すると、
{t^(1/3)-t^(-1/3)}^2=(-3)^2

普通に展開すると、
t^(2/3)-2・t^(1/3)・t^(-1/3)+t^(-2/3)=9

t^(1/3)・t^(-1/3)=1ですね。あとは普通に計算して、

t^(2/3)-2+t^(-2/3)=9
  t^(2/3)+t^(-2/3)=9+2
  t^(2/3)+t^(-2/3)=11

よって、[タチ]=11


つづく


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