2020年センター数学1A第2問[1] ⑧最後まで

この記事では、2020年大学入試センター試験数学1A第2問[1]の最後までを解説します。


2020年センタ数学1A第2問[1]ここまでの解説→①三角比の基本②相互関係③正弦定理・余弦定理④[ア]まで⑤[エ]まで⑥[オ]まで⑦[カ]まで


2020年センター数学前回の問題→2020年数学2B第1問[2]


昨年のセンター数学
2019年数学1A
2019年数学2B


■ 問題

2020年センター試験数1Aより

第2問

[1] △ABCにおいて、BC=2√2とする。∠ACBの二等分線と辺ABの
交点をDとし、CD=√2,cos∠BCD=3/4とする。このとき、
BD=[ア]であり

 sin∠ADC=√[イウ]/[エ]

である。AC/AD=√[オ]であるから

 AD=[カ]

である。また、△ABCの外接円の半径は[キ]√[ク]/[ケ]である。


※分数は(分子)/(分母)、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。




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■ 解説

最後は△ABCの外接円の半径を聞いています。

「外接円なら正弦定理」と結びつくようにしておきましょう!

★ 正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

角と対辺および外接円の半径の関係を表していると考えることができます。

ここで、今までにわかったことを整理してみましょう!

⑦[カ]まででAD=1がわかったので、

AB=AD+DB=1+2=3
AC=√2AD=√2

つまり、△ABCは3辺の長さがわかったことになります。

3辺の長さがわかれば、余弦定理が使えてコサインがわかり、コサインがわかれば
サインも出せる。サインがわかれば正弦定理が使える。という流れです。


では実際にやってみましょう!

AB^2=BC^2+CA^2-2BC・CA・cosCより、

cosC=(BC^2+CA^2-AB^2)/(2BC・CA)
    ={(2√2)^2+(√2)^2-3^2}/(2・2√2・√2)
    =(8+2-9)/8
    =1/8

(sinC)^2+(cosC)^2=1にcosC=1/8を代入して

(sinC)^2+(1/8)^2=1
      (sinC)^2=1-1/64
      (sinC)^2=63/64
        sinC=√63/8
        sinC=3√7/8

c/sinC=2Rに、c=AB=3,sinC=3√7/8を代入して、

2R=3/(3√7/8)
2R=24/3√7
2R=8/√7
 R=4√7/7

よって、[キ]=4,[ク]=7,[ケ]=7


つづく


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