2025年大学入学共通テスト数学２ＢＣ第３問 詳しく解説します！
↑このページに、この問題１問の解説をまとめて、式も整理して掲載しました。
内容は同じですが、「もっと便利に利用したい」という人はご利用ください。
2025年数学２ＢＣ第３問ここまでの記事→①微分積分の記事紹介、②[イ]まで、③[ウエ]、④[カ]まで、⑤[クケ]まで、⑥[ス]まで、⑦[セ]、⑧[ツ]まで、⑨[ト]まで、⑩最後まで
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2021年数学１Ａ、2021年数学２Ｂ
■ 問題
2025年共通テスト数２ＢＣより
第３問
ｋを０でない実数とし、ｆ(ｘ)を２次関数とする。Ｆ(ｘ)とＧ(ｘ)はどちらも
導関数がｆ(ｘ)であるような関数で、Ｆ(ｘ)はｘ＝０で極小値０をとり、Ｇ(ｘ)は
ｘ＝ｋで極大値０をとるとする。
(1) まずＦ(ｘ)＝２ｘ^3＋３ｘ^2の場合を考える。
Ｆ(ｘ)の導関数がｆ(ｘ)であることから
ｆ(ｘ)＝[ア]ｘ^2＋[イ]ｘ
であり、Ｆ(ｘ)はｘ＝[ウエ]で極大値をとる。また、Ｇ(ｘ)の導関数がｆ(ｘ)である
ことから
Ｇ(ｘ)＝[オ]ｘ^3＋[カ]ｘ^2＋Ｃ (Ｃは積分定数)
と表され、Ｇ(ｘ)はｘ＝[キ]で極小値をとる。さらにＧ(ｘ)に関する条件から
Ｃ＝[クケ]である。
(2) 次に、ｋ＞０の場合を考える。
このとき、Ｆ(ｘ)とＧ(ｘ)に関する条件から、ｙ＝Ｆ(ｘ)のグラフとＦ(ｘ)，
Ｇ(ｘ)の極値について調べよう。
(i) Ｆ(ｘ)がｘ＝０で極小値をとることから、ｆ(０)＝[コ]であり、ｘ＝０の前後で
ｆ(ｘ)の符号は[サ]。さらに、Ｇ(ｘ)がｘ＝ｋで極大値をとることから、
ｆ(ｋ)＝[シ]であり、ｘ＝ｋの前後でｆ(ｘ)の符号は[ス]。したがって、Ｆ(ｘ)の
導関数はｆ(ｘ)であることに注意すると、座標平面においてｙ＝Ｆ(ｘ)のグラフの
概形は[セ]であることがわかる。
[サ]，[ス]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 負から正に変わる {1} 正から負に変わる {2} 変わらない ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[セ]については、最も適当なものを、次の{0}～{5}のうちから一つ選べ。なお、
ｙ軸は省略しているが、上方向が正の方向であり、ｘ軸は直線ｙ＝０を表している。
選択肢はこちら→http:/www.a-ema.com/img/2025math2bc_3.png
(ii) Ｆ(ｘ)に関する条件から、すべての実数に対して
Ｆ(ｘ)＝∫タ]～[ソｆ(ｔ)ｄｔ
が成り立つ。このことと(i)の考察により、Ｆ(ｘ)の極大値は
∫ツ]～[チｆ(ｔ)ｄｔ
と表され、Ｆ(ｘ)の極大値は、関数ｙ＝[テ]のグラフとｘ軸で囲まれた図形の[ト]と
等しいことがわかる。
さらにＧ(ｘ)に関する条件から、Ｆ(ｘ)の極大値は、Ｇ(ｘ)の[ナ]と等しいことが
わかる。
[ソ]～[ツ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０ {1} １ {2} ｋ {3} ｘ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[テ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｆ(ｘ) {1} Ｆ(ｘ) {2} Ｇ(ｘ) ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ト]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 面積 {1} 面積の－１倍 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[テ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 極小値 {1} 極大値 {2} 極小値の－１倍 {3} 極大値の－１倍｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 今回の公式・定理・性質など
★極値は導関数の値がゼロ
★極値の前後で導関数の符号が変わる
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■ 解答一覧
[ア]＝６，[イ]＝６，[ウエ]＝－１，[オ]＝２，[カ]＝３，[キ]＝０，[クケ]＝－１
[コ]＝０，[サ]＝０，[シ]＝０，[ス]＝１，[セ]＝３，[ソ]＝３，[タ]＝０，
[チ]＝２，[ツ]＝０，[テ]＝０，[ト]＝０，[ナ]＝２
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